【中古通信販売】中古部品 スカイライン HR34 クーラーコンテプレゼンドンサー 【8552099】:e-cleマート

スマートフォン用の表示で見る
スターをつけました

引用をストックしました

引用するにはまずログインしてください

mnbbb2c.htmlmnbbbil.htmlmnbbbk8.htmlmnbbbdr.htmlmnbbbgk.htmlNGK(エヌジーケー) イリジウムMAXプラグ 04/6〜05/6 BMW E61 525Iツーリング (GH-NG25ペダル 2贈り物56S) 6本セット:PARTSmnbbb2c.htmlmnbbbil.htmlmnbbbk8.htmlmnbbbdr.htmlmnbbbgk.htmlアップルカッター AP-6オンラインショッピング(6分割用)【通販りんごカッター】【業務用】:OPEN キッチンmnbbb2c.htmlmnbbbil.htmlmnbbbk8.htmlmnbbbdr.htmlmnbbbgk.htmlPORTA-BOTE純正オールセット:ネオライフベストネお買い得ットマリン店mnbbb2c.htmlmnbbbil.htmlmnbbbk8.htmlmnbbbdr.htmlmnbbbgk.html【USA在庫あり】 1211-0104 224U-520-53GPSI レンサル RENTHAL リア スプロケット 53T/520 90年以降 KTM、贈答品ハスクバーナ アルミ シル通信販売バー:ヒロチー商事 ハーレー 店mnbbb2c.htmlmnbbbil.htmlmnbbbk8.htmlmnbbbdr.htmlmnbbbgk.htmlWinmaX SPORTS AP2 三菱 ショッピングデリカ フロント用 【品番183】 型式P12V 90.07- 年式86.04-94.03:モー贈り物ストプライスU-KANAYA ユーカナヤ GPタイプ アルミビレットレバーセット アジャスターカラー:オレンジ レバーカラー:オレンジ レバータイプ:ショート(レバー部全長:プレゼント約145mm) SV400、SV400S SV650、SV650S -09:ウェビック 店【188】キジマ/お買い得KIJIMA ドレスアップカバー ダイナモ ゼファー400/X・Z400FX/101-0821:バイク用品の達人

引用をストックできませんでした。再度お試しください

限定公開記事のため引用できません。

読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる
オンラインショッピングCLEVERWOLF クレバーウルフ タンクパッド GSX-R600/750 11-:ウェビック 店SWAGE-LINE フロントホースキット ホースエンド:アルミ/ゴールド&ブルー ホースカラー:クリア XANTHプレゼントUS400:GooBikeParts支店エアブラスター ウェア買い物 17-18 BRUISER -jk/BLACK ブルーザー コーチジャケット 撥水・防水 DWR (2017-2018 17-18)AIR blaster ウエア  スノーボード メンズ【w17】:スキー用品通販 WEBSPORTSURBAN SEAT JACKET アーバンシートジャケット カラー:ブルー YZF-R買い物1:GooBikeParts支店トンボ 抗菌剤入り 業務用まな板 600×450×H贈り物30mm5-0296-0206 4-0289-0206【厨房用品 調理器具 キッチン用品 キッチン 格安 特価 新品 販売 通販】[10P03Dec16]:厨房用品のプロショップ ナガヨ2016 OGASAKA(オガサカ)スキー「ユニティー UNITY U-AS/1」ブラック+金具チロリアPR1贈り物1BLK:SportsShopファーストステーションRAM MOUNT ラムマウント 各種電子機器マウント・オプション X-グリップホバイク用品ルダー(タブレットL) UN9 RAM-HOL-UN9U:ウェビック 店2輪 ケイファクトリー/K-FACTORY 可倒式ビレットクラッチレバー ブレンボOEM用 ドゥカティ/DUCATI S4RS:オートパカーパーツ オートパーツ 自動車部品 カー用品ーツエージェンシー16-ショッピング17 2017 BURTON バートン HIGHLINE BOA ハイラインボア Black-Gray/Black 16/17 スノボー スノーボード ブーツ【JSBCスノータウン】:JSBCスノータウン○オンラインショッピングバーゴ T-466・チタニウムボット700:登山用品とアウトドアのさかいやT-MAX純正レギュレター☆▼新品4JH-81960-01/ドラッグス贈り物ター400:ティーエスパーツ 店ダイヤモンドミクロンパウダー DR-5030 6(4-8)Um(ミクロンレンジ)粒度#3,000 50CaratダイヤモンドパウダーJP工具Iダイヤモンド(株) [DR5030]:ツールエクスプレス 店【データシステム】TV-KIT 切替タイプ TTV176[トヨタ標準装備]アルファード・アルファードハイプリッド・ウィンダム・グランドハイエース・グランビア・ハイラックスサーフ・ランドクルーザープお歳暮ラド・レジアス:まんてん屋ZX-9R(00〜03年) 可倒式アジャストレバー 3Dタイプ クラッチ&ブレーキセット ゴールド SSK(エスエスケー):バイク用品贈答品・パーツのゼロカスタム【マラソン中エントリーして5400円購入で1000p進呈+全品2倍以上!】Clazzio/クラッツィオ Clazzio Jr.(ジュニア) ハイエースバン S-GL 電子パーツ ブーストコントローラーDARK PRIME/KDH201、206、211 H27/1〜 カラーブラック【41ETH1096K】:NANIWAYA 店ホンダ HONDA NBOX エヌボックス [ホンダ純正] インテリアパネル インストルメントパネル部用(2贈答品枚セット) ポイント2倍しかも送料無料 08Z03-TDE-999:パーツジャパンサービス店【店内全品ポイント2倍】ブレーキパッド 取付セット projectμ リア TYPE-NS セドリック CEDRIC PAY32/PBY32 プロジェクトミュー プロミュー ブレーピロテンションロッドキパット 送料無料 ブレーキパッド:KTSFACTORYハリールイド/ハリールイド/ベルトお中元 クロコダイル柄 大人の色気を醸し出す【国内送料無料】HALYRUID【メンズ】ハリールイドゴルフウェア:【T-on】ティーオン≪'17年1月新商品!≫ シマノ スリムウェーダー(中割) WA-073Q ブラック LO(L)お中元サイズ:釣具総合卸売販売 フーガショップ2CUSCスイフト ZC32S ZC31S WRX S4 WRX STi VMG VM4 VAB VAGO【クスコ】オーバルシャフトタワーバー「フロント用」ギャランフォルティス CY4A(2WD、2000T) 08.7-6速CVT グレード:ラリーアート:K-ワークス 店ブリヂストン エコフォルム CRS101 16x6.5 43 100-4穴 中古メタルシルバー2 9401 :タイヤ・ホイール カンパニー2輪 メッツラー タイヤ スポーツツーリング Lasertec(H) 16インチ買い物 P026-2420 130/90-16 67H TL リア:オートパーツエージェンシーK-MAX ケーマックス トカウルップケース・テールボックス K19 9L リアボックス ワーニングランプ付き カラー:シルバー:ウェビック 店【メーカー在庫あり】 CAFB275 スウェッジライン SWAGE-LINE フロント ブレーキホースキット 8通販1年-82年 XJ400 メッキ スモーク:ヒロチー商事 ハーレー 店【中古】再生部品 インテグラ DA7 右フロントドライブシャフト 【168298買い物2】:e-cleマート【The Beetle | ハルトデザイン】The Beetle フロアーマット(check)前後4セット ベージュ 右ハンドル マオンラインショッピングットタイプ:クリップ フチカラー:ブラウン:PIT-4ゼット 硬式キャッチャー防具4点セット Zショッピング-BL027N-2900:ZIPスポーツ 支店ロゴス(LギフトOGOS) 囲炉裏テーブルLIGHT-L 【送料無料(北海道・沖縄以外)】:札所0番店【中古】中古オンラインショッピング部品 VW ゴルフ 1JAPK 左フロントストラットASSY 【4842482】:e-cleマート送料無料(一部離島除く)HKS HKSスーパーパワーフローリローデッドNISSAN マーチ(E/GH/TA-HK11.K11 マーオンラインショッピングチ) フジコーポレーション:タイヤオンラインビバハート(VIVA HEART) 16SS DC クロックチェーンキュロット(レディーススカート) 102-73341 【16春夏】:Victoプレゼントria Golf 支店【送料無料】 アクティブ ACTIVE ハイスロKIT [TYPE-2] テフロンインナー 巻取φ40オンラインショッピング SIL ZX-6R 09-11 1069566 【 バイクパーツ ハンドル回り ハイスロットルキット 】:eSPORTS支店レーショッピングセル 18-10 コランダーボール49.7cm<23134>【smtb-tk】:キッチンブランチSSK エスエスケー 可倒式アジャストレバー 3Dタイプ クラッチ&ブレーキセッバイクト アジャスターカラー:レッド GSX-R600/750 2006-2010、GSX-R1000 2005-2006:ウェビック 店ヤナセ ユーロブラック 外車用バッテリー [品番:SB062B]適合車種:フォルクスワーゲン ゴルフ2 1.8※必ず現在お使いのバッテリーの Ah数・サイズ を確認して下さい。【smtb-k】【kb】【あす楽対応_近畿】【カ車用品ード分割】:パーツキング店【送料ショッピング無料】5zigen マフラーカッター TANTO タント(ABA-L350S) VS / 5次元 ゴジゲン テールエンドフィニッシャー:Parts BookK-FACTORY ケイバイクファクトリー ガード・スライダー フロントフォークガード(Lサイズ) 素材:チタン製:ウェビック 店HELIX(ヘリックス)13cm 2way 同軸ユニットB5X【送料無料贈り物】【smtb-TD】【tohoku】:Fine’ s Fine【アルテお中元ッツア | ヒッポスリーク】アルテッツァ フードトップモール:PIT-4MIZUNO WAVE INTENSE TOUR2OC 61GB1600 カラー:01 サイズ:2ショッピング7cm:EC-JOY店M-SOUL(ムサシ) 贈答品エムソウル テールランプ LEVEL10 レーシングLEDテールレンズ レンズカラー:スモーク MT-09:ウェビック 店SUOMY SRS-001 レインスーツ カラー:アイボリー サ贈り物イズ:L:バイクブロス支店【中古】中古部品 エクストレイル NT30 右テールランプ 【125071通信販売99】:e-cleマート[BLITZ] ブリッツ サスパワー コアタイプLM レッド エアクリーナー CR-Z ZF1 10/02〜12/09 LEA-MF6:オートクラ贈答品フトMAMMUT マムート リュック ザック 35L Trion Pro 35L トリオンプ通信販売ロ 35リットル(2510-02221 バッグ 登山 トレッキング ハイキング バックパック あす楽 あすらく)【送料無料】【母の日】:アウトドア専門店の九蔵【USA在庫あり】 161571 CC036 ワイセコ Wiseco カム チェーン 08年-16年 KTM 5オンラインショッピング00EXC、500XC-W、530EXC-R:ヒロチー商事 ハーレー 店

なぜ再び数学するのか

ε と δ 〜 無限小の代理人

数学 解析学 εδ論法

どうも、佐野です。

月曜日から5日間、上海で開催された wsdm2015 というカンファレンスに参加していました。ウェブ検索とデータマイニングに関する最先端の話題に触れることができ、とても刺激になりました。

さて、今日は 論法についてです。

その昔、中国の唐の時代、雲門という禅僧が修行のためにあるお寺に入門しようとしたところ、三日連続で拒まれ、ついには追い出され際に門に足を挟まれて骨を折られてしまう(そしてなぜかそれによって悟りを開く)ということがあったそうなのですが、僕は数学の「入門」もこれに近いものがあるように思います。

大学における数学の入門書として名高い東大出版会の『解析入門』は『解析門前払い』という異名のつくほど難しく、高校で「俺、数学得意かも」と思っていた心はすぐさまへし折られてしまいます(しかもそれで悟りが開けるわけでもない)

特に門のすぐ先にいる イプシロン(デルタ)がどうにも掴みようがなく、一向に心を通わすことができないのです。

論法のはじまり

論法は、19世紀にコーシーワイエルシュトラスといった数学者によって完成された解析学の論法です。

17世紀、ニュートンライプニッツによって微積分学が作られ、リンゴの落下から天体の運動まで微積分を使った方程式で記述できるようになり、自然科学に革命が起こされました。18世紀においても解析学の発展は続いていくのですが、しかし徐々に根本的な問題が浮かび上がってくるようになります。

微積分学で使われる概念や操作の多くは極限によって定義されています。例えば「 が において連続である」とは、数式では:


と書き、これは「 が 限りなく に近づくとき、 も 限りなく に近づく」ということなのですが、これ自体では定義にならないのです。なぜなら「限りなく近づく」という操作ができたとすれば、その時点で「限りがあった」ということになって自己矛盾だからです。

「定義なんかしなくても、連続かどうかなんて見れば分かるだろ」と思われるかもしれませんが、例えばこんな関数:


はどうでしょう? が有理数のときだけピコンと になる関数です。例えば , です。

明らかに不連続な感じがしますが、「限りなく近づくと…」が定義であるとすれば、例えば なる有理数は を大きくすれば に限りなく近づいていき、その関数値は常に なので「 は において連続だ」…ということもできそうです。

このように定義が曖昧だと、その概念を含む主張は真偽が判定できないのです。特にそれが定理である場合には、その上にどんどんと曖昧な議論が重なっていくことになり、どこに誤謬があるかも分からずいずれはバランスを崩して破綻してしまうでしょう。

こういうことが問題として意識されるようになったのは、現実に間違った議論が起きるようになったということだけでなく、時代を経るつれ「数学とは何か」という考え方が変わってきたことにもあるんじゃないかと思います。

古くピタゴラスは「この世界は数でできている」と信じており、ガリレオやニュートンの時代にも数学は常に自然と共にあったものが、次第に「自然とは独立な概念的な創造物」としての様相を強めていき「明確な定義こそが議論の出発点である」という前提が受け入られていきます。

それまで「神の領域」であった無限や極限も「概念として定義」できるようでないと数学はその独立性を樹立することができない…そうして19世紀(産業革命や市民革命の時代でもある)に 論法が作り上げられ、解析学の基礎となったのです。

論法とは何か?

前置きが長くなりましたが(でないとこの先が唐突すぎて理解不能だからです)、早速 論法を使った 連続 の定義を見てみましょう:

は で連続である


うわ、これはキツい…
もう少し日本語っぽく書き下すとこうです:

「どんな に対しても、 を上手く取れば、 との距離が 未満のどんな も、 との距離が 未満の に移るようにできる」


分かったような分からないような…しかしこれは「関数が で繋がっている」という直観的なイメージとはかけ離れています。なぜこれで「連続」が定義できたことになるのでしょう?

論法を読み解く

まず「どんな…」とか「…を上手く取れば」とかを忘れて、 も も 小さな数 だと考えてください。また連続の定義は多変数の場合も同じなので、ここでは が平面の変換の場合を考えることにします(グラフで考えるよりも分かりやすいと思います)

定義式の後半の:


は、「 を中心とした半径 の円板は によって、 を中心とした半径 の円板の中に入る」ということです。

これは「 の近くの点は、 の近くに移る」というイメージと合っていますよね。でもこの「近さ」である と が無関係だと、 をどれだけ小さくとっても をもっと小さく取れば、 の円板の像は の円板からはみ出てしまいます。

従って先に「移り先の近さ 」で決めた上で「移り元の近さ 」を定める必要があり、これができるならばちゃんと「近くの点は近くに移る」と言えそうです。

そしてこの は どんなに小さく取ってもいい(もちろん はそれに応じて変わる)となっているので、イメージ通り「限りなく近く」ということができるのです!

というわけでもう一度定義式と共にその意味を吟じてみましょう:

は で連続である


数式が意味を持って語りかけてくる感じになりましたか?

なぜこれが「定義」になるのか?

以上の議論が正しそうだということは分かっても、単に「限りなく近づく」を難しく言い直してるだけな感じがします。なぜこれが「定義」として成立すると言えるのでしょう。

「何が定義であって定義でないのか」を言うには「定義とは何か」すなわち「定義の定義」が必要になりますが、数学においてはシンプルで、定義とは条件のことです。つまり「 は である」とは、 に関する条件 があって、「 が真となる を という」ということです。

論法では曖昧な主張がなく、どんな に対しても条件が成り立つか否かの二つになります。先ほどの例を見てみましょう:


これが において連続かどうか。適当に を取った上で、 を「 なる が となる 」ように取れるか見てみます。

の近くにはいくらでも無理数があるので( を考えればわかる)、どれだけ小さく を取ってもその範囲内に無理数 が取れてしまい、 で 未満に抑えることができません。従って は で連続ではない、となります。

他の有理数無理数についても同様で、 は定義域全体で不連続となります。

ではこれをちょっと変えて、


はどうでしょう? が有理数のときに ではなくその分母だけを返す関数です。例えば です。

これも明らかに不連続…と言いたいところですが、なんと有理数では不連続になるのに 無理数では連続 となるのです!

(小さな に対して、 がその範囲内に入るには の刻みを細かくしていけばよく、無理数 の近くでは細かな しか入らないように を小さく取ることができるからです。)

こういう例はイメージするのが難しいですが、「限りなく」のままでは判定不能だったものも 論法を使うことで厳密に連続・不連続が議論できるようになるのです!

いわば は自在に小さくなれる特殊能力を持った「無限小の代理人」で、 はその弟分みたいなものです。「どんな に対しても…」の先は も も「普通の数」として扱うことができるところがポイントです。


( を可愛く感じるように描いてみた)

無限大についても同様

同様に「無限大の代理人」をたてれば、無限大に関する極限も定義できるようになります。例えば:


この場合は が「無限大の代理人」で、いくらでも大きくなれる奴らです。

数列の極限も:


と定義できます(数列は自然数から実数への写像と見れば同じです)

このように「無限小・無限大の代理人」を立てることで極限を「定義」でき、論証においてはそれらを「普通の数」として扱うことができる…これが 論法の本質なのです。

mnbbb2c.htmlmnbbbil.htmlmnbbbk8.htmlmnbbbdr.htmlmnbbbgk.htmlヤナセ ユーロブラック 外車用バッテリプレゼントー [品番:SB075B]適合車種:ポルシェ911カレラ※必ず現在お使いのバッテリーの Ah数・サイズ を確認して下さい。【smtb-k】【kb】【あす楽対応_近畿】【カード分割】:パーツショッピングキング店mnbbb2c.htmlmnbbbil.htmlmnbbbk8.htmlmnbbbdr.htmlmnbbbgk.html【日産】モコ 専用フロアマット [年式:H18.02-21.06] [型式贈り物:MG22買い物S] MC前 (ドレスアップシリーズ) 【送料無料】 Elgan(エルガン):elganカーマットmnbbb2c.htmlmnbbbil.htmlmnbbbk8.htmlmnbbbdr.htmlmnbbbgk.htmlミヤコ 整備キット MM-5229 三菱ふそう キャンター FE73E BY6系・CY6系・EY6系 2002年05月〜:オートパー通信販売エアコンフィルター ドライブシャフト ステアリングブーツ バッテリー サスペンション エアフィルターツエージェンシー2号店mnbbb2c.htmlmnbbbil.htmlmnbbbk8.htmlmnbbbdr.htmlmnbbbgk.htmlアルミ防護ネット AZ型 2X3M ( S-780通信販売1 / SWT10322678 )送料【おダンボール 引越し見積】【 三和体育 】【QBH12】:Field Boss 店mnbbb2c.htmlmnbbbil.htmlmnbbbk8.htmlmnbbbdr.htmlmnbbbgk.html【ショッピングMARUKIN】(マルキ贈答品ン)ヒヨリ201 20型 MK-16-027【ファミリーサイクル】【自転車 完成車】【日時指定・代引き不可】:サイクルヨシダ支店ショッピング【デイズ | ガレージノア】デイズハイウェイスター B21W ヘッドライトカバー 左右2点セット カラー:ダークスモーク:PIT-4【 トヨタ プリウス 型式 ZVW30 ≪ フロンclazzioト ≫≪ 商品コード:951-017-F ≫】 クスコ CUSCO 【 可倒式牽引フック 】≪ スチール製 レッド 0度/90度がワンタッチで可倒し固定するチェックボール付 溶接無一体成型スチール製 ≫:アールエス

まとめ

なかなか取っつきづらい 論法ですが、慣れれば「人間には扱えない無限の世界」を簡単な手続きで扱えるようにするための方法なんだと納得できると思います。こうして土台がガチッと固まったことで、その先も解析学は実・複素ともに華々しく発展していくのです。

次回もまた何か解析学の基礎の話をしようかなと思います。
それでは、また!

0123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899