当店限定サービス【組立調整 完成車】DOPPELGANGER(ドッペルギャンガー) BMX DX20-BK 13.5kg 20インチ DUB STACKシリーズ ク通信販売ルー通販ジング:一勝堂

スマートフォン用の表示で見る
スターをつけました

引用をストックしました

引用するにはまずログインしてください

nyughm2.htmlnyughb3.htmlnyugh11.htmlnyughc7.htmlnyughat.html■NGK [5871] *1台分8本セット*オンラインショッピング スパークプオンラインショッピングラグ PFR6N-11 * モーガン +8 1998年10月〜:カー用品卸問屋 NFRnyughm2.htmlnyughb3.htmlnyugh11.htmlnyughc7.htmlnyughat.htmlBRI通販DGESTONE NEXTRY 225/60R16 【225/60-16】 【新品Tire】ブリヂストン タイヤ ネクストリーチャイルドシート エコピアワッペン:矢東タイヤnyughm2.htmlnyughb3.htmlnyugh11.htmlnyughc7.htmlnyughat.htmlソックスプお歳暮レゼント!DESCEショッピングNTE デサント トレーニングジャケット・パンツ(ジヤージ上下セット) DTM-1910B-DTM-1910PB:クレーンスポーツnyughm2.htmlnyughb3.htmlnyugh11.htmlnyughc7.htmlnyughat.htmlSabe買い物lt Sabeショッピングlt CLUBMAN-75 BK右側:TopTuner 店nyughm2.htmlnyughb3.htmlnyugh11.htmlnyughc7.htmlnyughat.html【エントリーで店内全品ポイント10倍!5月25日(木)10:00〜】HKS/エッチ・ケー・エス 5本セット SUPER FIRE RACING M45i PLUG M-i SERIES HONDA インスパイア CC3 プラグ通販:車通信販売高調 カー用品専門店 車楽院2輪 POSH Faith EARL’S ブ贈答品レーキホースキット フロント&リア 552059-FR ヤマハ TZM50 1994年〜1999年:オートパーツエージェンシーZRX1200 DAEG(ダエグ)09年〜 フェンダーレスキット FRP/ギフト黒 A-TECH(エーテック):バイク用品・パーツのゼロカスタム

引用をストックできませんでした。再度お試しください

限定公開記事のため引用できません。

読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる
訳あり オークリー ゴーグル OAKLEY キャノピー CANOPY アジアンフィット(ジャパンフィッ通販ト) 59-247J Danny Kass ミラーレンズ 眼鏡対応 スキー スノーボード [B]:TREASURE LAND-トレジャーランド-【中古】《中古スタッドレス》ダンロップ ウィンター MAXX WM01[165-70-14][スタッドレスタイヤ4本セット]S50402602【中古タイヤ】【ss14】:激安タイヤ中古タイヤ・ホイールの太平タイヤ【イベント開催中!】EASYRIDERS イージーライダース テールランプ LOW HEIGHT LED TAILLIGHT【SMOKE】 FXST/FLSTバイクC/FLSTF/FLSTN/FLT/DYNA(ALL)XL(ALL) 00-:ウェビック 店ハンディクラウン(Handy Crown) 洗車ブラシ贈り物 TOYOTA86 洗車ブラシKIT T86-01:ブラックロックLadybird レディバード ガード・ス買い物ライダー フレームスライダー 99 -04 955Sprint ST:ウェビック 店オートマフルード ATF オイル アリオン ZZT240 用 T-IV 20L 08886-0170エアーエレメント3 純正 ☆トヨタ TOYOTA○:Star-PartsJPモトマート(デュラボルト) フットペグ・ステップ・フロアボード NRフロントステップペグ GSF1200 GSF750 GSX-R1000 GSX400 インパルス RF400通販 RF900:ウェビック 店【USA在庫あり】 0934-2368 50002-G01 シリンダーワークス Cylinder Works ガスケプレゼントットキット 06年-12年 KTM 250 標準ボア:株式会社ヒロチー商事 店シ贈答品ールドネットエアクリーナーキット 93-99年エボBT GUTS CHROME(ガッツクローム):バイク メンテ館ミズノ (MIZUNO) レディース ゲームシャツ&スカート 上下セット(ホワイト×ブラック) 62JA7214-01-62JB7204-09 [分類:テニス ユニホームプレゼント・ゲームシャツ] 送料無料:Sportsman 支店プロジェクトμ RACING-N1 アルテッツァ SXE10, GXE10 98.11〜01.5 フロント贈り物用:リデューカークリエーションバイクホーネット900(HORNET) GPタイプ ロングアルミビレットレバーセット(グリーン) U-KANAYA:バイク メンテ館UTA583 走行中純正ナビのテレビ・DVDが見れる!【データシステムTV-KIT(テレビキット)】【オートタイプ】送料無料(沖縄・贈答品離島除く):京都電業株式会社店DIXCEL(ディクセル)【トルネオ 型式:CL1 年式:00/6〜02/10 備考:EURO R】ブレーキパッドZ-type(走行会・サーキット対応Zタイプ/リア用):Auto support Groupブレーキローター[DIXCEL] ディクセル ブレーキローター SDタイプ リア用 【カリーエアロナ ED ST202 93/9〜95/8 X/S Limited (Engine [3S-FE])】 送料無料(沖縄・離島・同梱時は送料別途):オートクラフト【送料無料】【DAYTONA/デイトナ】サポート&ハンガーセットCR、L、-03XL:特買い物産品くらぶ制研/Seiken シリンダー SW-G16プレゼント8 イスズ/いすゞ/ISUZU車用:オートパーツエージェンシー【国内未発売】フルミネオンラインショッピングンセ ホーム 半袖 9番フレッジ【13-14シーズン/ブラジル代表/FRED/ユニフォーム/ブラジルリーグ/サッカー】1004:ECムンディアルDIXCEL PD-typeブレーキディスクローター リア用RF7ステップワゴン 01/4〜05/5:PartsD買い物epotクーポンで3%off!5/30 13:59迄!【DNC-01】DateSystem  データシステムダウンコンバータ(HDM-W10専用)【コンレーダービニ受取不可商品】:オートウイングスズキ MRワゴン MF21S ギフトS100TD Ti2000 DOWN RS-R ローダウン サスペンション RSR:ニューズ タイヤ&ホイールズ【純正】TOYOTA CROWN ATHLETE トヨタ クラウンアスリート【ARS210 GRS214/211 AWS210/211】  本革キーケース【ブラウ買い物ン】[08193-30110]:車の部品屋 C-partsTRIBALDOGTOWN スケートデッキ 送料無料 【ZOMBIE HENDLEY】 スケボー スケート デッキ DOG TOWN ドッグタウン ◆ NEW SKOOL ◆【正規品】【即日発送】:S-punky(スパンキー)【132】OGKカブト レディースジェットヘルメット KL・ミニ プレイボーイ〈KL-mショッピングini PLAYBOY〉 (フラットブラック-5):バイク用品の達人バルターモトコンポーネンツ Valter Moto Components ハンドガード レバーガード SAFEROD カラー:ブロンズ B-KING グラディウス400 グラディウス650:ウェビッヘルメットク 店全国送料無料 Beat-Sonic(ビートソニック) 映像分配器 品番:VD10 在庫状況【メーショッピングカー取り寄せ】:CARPARTS Web StoreSWAGE-LINE フロントホースキット ホースエンド:アルミ/レッド&ブルー ホースカラー:クリア PCX125 PCX150:GooBikePaショッピングrts支店【M's】E53 BMW X5 Xシリーズ ALCABO社製 ドリンクホルダー シルバー カップタイプ(右/左ハンドル) // ビーエム アルカボ AL-B104S/ALB104S 贈り物SUV アルミ 社外品 SV 安 高品質 エムズ 大人気 新品:エムズパーツshop 店ゼット ギフトプロステイタス ウインドブレーカージャケット パンツ 上下セット BOW161NTB-BOW161LT:KYOEISPORTS店GSX-R600(06〜07年) ベースセット ブラック VENTURA(ベンショッピングチュラ):バイク用品・パーツのゼロカスタムKOMINE通信販売 2017春夏モデル JK-117 プロテクトフルメッシュジャケット-ジモン カラー:シルバー/ブラック サイズ:WL:バイクブロス支店2輪贈り物 カヤバ/KYB サスペンション SG 品番:SG325 入数:2本 スズキ ベクスター125 AN124W CF42A-:オートパーツエージェンシー【中古】中古部品 ムーヴ L175S 右フロントフェンダーハプレゼント゚ネル 【11633849】:e-cleマート【中古】中古部品 アルお中元ファード ANH10W テンパータイヤ 【13514919】:e-cleマート5個セット 厨房用品 18-8イモクリ [ 4分1.2 x 13.5cm 贈答品] 料亭 旅館 和食器 飲食店 業務用:せともの本舗2輪 キタコ マルチリヤキャリアー シルバーエアコンフィルター ドライブシャフト ステアリングブーツ バッテリー サスペンション エアフィルター 659-0422000 JAN:4990852101153 ヤマハ トリシティ 2CM9:オートパーツエージェンシー2号店2輪 ラフ&ロード ACERBISプレゼント インフィニティーROOSTデフレクター ブラック AC-13016:オートパーツエージェンシー【USA在庫あり】 0601-0629 レンサル RENTHAL ハンドルバー FAT ハンドル径1-1ショッピング/8インチ(29mm) 08年-15年以降 カワサキ KFX450R チタン:ヒロチー商事 ハーレー 店【送料無料】 Marmot (マーモット) トレッキング アウトドア トレッキングバッグ~30L未満 RAVINE 25 ONE PPL MJB-S7403 PPLショッピング:スポーツオーソリティ 店ワールドイーグル F-01α メンズ14点ゴルフクラブセットフレックスR /S バック:ブラック【右用】【初心者 初級者テーラーメイド ビギナー】【ポイント2倍】【最安値に挑戦】【送料無料】【パーゴルフ3 原田伸郎】【evclst】【あす楽】:モンドゴルフ【まとめ買い10個セット品】和食器 ユ436-446 2号お買い得徳利 【キャンセル/返品不可】【開業プロ】:開業プロ メイチョー【中古】プレゼント【Cランク】【フレックスA】◆ダイワ(グローブライド)◆ONOFF(2016) 13° レディース◆SMOOTH KICK LP-416D◆A【golpa】【レディース】【右利き】【DR】 オノフ カーボン ゴルフクラブ:ゴルフパートナー 店ハリケーン [HBK614C-01] フラット5型 ハンドルkit クロームメッキレーザーポインター HBK614C01【送料無料】:測定器・工具のイーデンキ【取寄】49-0432 レプリお買い得カ フロント ブレーキ ケーブル ハウジング ONLY GD 1936-1941EL 1936-1940G 1936-1957ULH 1937-1941WL 1937-1941UL 1937-1948FL 1941-1948:GUTS CHROME

なぜ再び数学するのか

ε と δ 〜 無限小の代理人

数学 解析学 εδ論法

どうも、佐野です。

月曜日から5日間、上海で開催された wsdm2015 というカンファレンスに参加していました。ウェブ検索とデータマイニングに関する最先端の話題に触れることができ、とても刺激になりました。

さて、今日は 論法についてです。

その昔、中国の唐の時代、雲門という禅僧が修行のためにあるお寺に入門しようとしたところ、三日連続で拒まれ、ついには追い出され際に門に足を挟まれて骨を折られてしまう(そしてなぜかそれによって悟りを開く)ということがあったそうなのですが、僕は数学の「入門」もこれに近いものがあるように思います。

大学における数学の入門書として名高い東大出版会の『解析入門』は『解析門前払い』という異名のつくほど難しく、高校で「俺、数学得意かも」と思っていた心はすぐさまへし折られてしまいます(しかもそれで悟りが開けるわけでもない)

特に門のすぐ先にいる イプシロン(デルタ)がどうにも掴みようがなく、一向に心を通わすことができないのです。

論法のはじまり

論法は、19世紀にコーシーワイエルシュトラスといった数学者によって完成された解析学の論法です。

17世紀、ニュートンライプニッツによって微積分学が作られ、リンゴの落下から天体の運動まで微積分を使った方程式で記述できるようになり、自然科学に革命が起こされました。18世紀においても解析学の発展は続いていくのですが、しかし徐々に根本的な問題が浮かび上がってくるようになります。

微積分学で使われる概念や操作の多くは極限によって定義されています。例えば「 が において連続である」とは、数式では:


と書き、これは「 が 限りなく に近づくとき、 も 限りなく に近づく」ということなのですが、これ自体では定義にならないのです。なぜなら「限りなく近づく」という操作ができたとすれば、その時点で「限りがあった」ということになって自己矛盾だからです。

「定義なんかしなくても、連続かどうかなんて見れば分かるだろ」と思われるかもしれませんが、例えばこんな関数:


はどうでしょう? が有理数のときだけピコンと になる関数です。例えば , です。

明らかに不連続な感じがしますが、「限りなく近づくと…」が定義であるとすれば、例えば なる有理数は を大きくすれば に限りなく近づいていき、その関数値は常に なので「 は において連続だ」…ということもできそうです。

このように定義が曖昧だと、その概念を含む主張は真偽が判定できないのです。特にそれが定理である場合には、その上にどんどんと曖昧な議論が重なっていくことになり、どこに誤謬があるかも分からずいずれはバランスを崩して破綻してしまうでしょう。

こういうことが問題として意識されるようになったのは、現実に間違った議論が起きるようになったということだけでなく、時代を経るつれ「数学とは何か」という考え方が変わってきたことにもあるんじゃないかと思います。

古くピタゴラスは「この世界は数でできている」と信じており、ガリレオやニュートンの時代にも数学は常に自然と共にあったものが、次第に「自然とは独立な概念的な創造物」としての様相を強めていき「明確な定義こそが議論の出発点である」という前提が受け入られていきます。

それまで「神の領域」であった無限や極限も「概念として定義」できるようでないと数学はその独立性を樹立することができない…そうして19世紀(産業革命や市民革命の時代でもある)に 論法が作り上げられ、解析学の基礎となったのです。

論法とは何か?

前置きが長くなりましたが(でないとこの先が唐突すぎて理解不能だからです)、早速 論法を使った 連続 の定義を見てみましょう:

は で連続である


うわ、これはキツい…
もう少し日本語っぽく書き下すとこうです:

「どんな に対しても、 を上手く取れば、 との距離が 未満のどんな も、 との距離が 未満の に移るようにできる」


分かったような分からないような…しかしこれは「関数が で繋がっている」という直観的なイメージとはかけ離れています。なぜこれで「連続」が定義できたことになるのでしょう?

論法を読み解く

まず「どんな…」とか「…を上手く取れば」とかを忘れて、 も も 小さな数 だと考えてください。また連続の定義は多変数の場合も同じなので、ここでは が平面の変換の場合を考えることにします(グラフで考えるよりも分かりやすいと思います)

定義式の後半の:


は、「 を中心とした半径 の円板は によって、 を中心とした半径 の円板の中に入る」ということです。

これは「 の近くの点は、 の近くに移る」というイメージと合っていますよね。でもこの「近さ」である と が無関係だと、 をどれだけ小さくとっても をもっと小さく取れば、 の円板の像は の円板からはみ出てしまいます。

従って先に「移り先の近さ 」で決めた上で「移り元の近さ 」を定める必要があり、これができるならばちゃんと「近くの点は近くに移る」と言えそうです。

そしてこの は どんなに小さく取ってもいい(もちろん はそれに応じて変わる)となっているので、イメージ通り「限りなく近く」ということができるのです!

というわけでもう一度定義式と共にその意味を吟じてみましょう:

は で連続である


数式が意味を持って語りかけてくる感じになりましたか?

なぜこれが「定義」になるのか?

以上の議論が正しそうだということは分かっても、単に「限りなく近づく」を難しく言い直してるだけな感じがします。なぜこれが「定義」として成立すると言えるのでしょう。

「何が定義であって定義でないのか」を言うには「定義とは何か」すなわち「定義の定義」が必要になりますが、数学においてはシンプルで、定義とは条件のことです。つまり「 は である」とは、 に関する条件 があって、「 が真となる を という」ということです。

論法では曖昧な主張がなく、どんな に対しても条件が成り立つか否かの二つになります。先ほどの例を見てみましょう:


これが において連続かどうか。適当に を取った上で、 を「 なる が となる 」ように取れるか見てみます。

の近くにはいくらでも無理数があるので( を考えればわかる)、どれだけ小さく を取ってもその範囲内に無理数 が取れてしまい、 で 未満に抑えることができません。従って は で連続ではない、となります。

他の有理数無理数についても同様で、 は定義域全体で不連続となります。

ではこれをちょっと変えて、


はどうでしょう? が有理数のときに ではなくその分母だけを返す関数です。例えば です。

これも明らかに不連続…と言いたいところですが、なんと有理数では不連続になるのに 無理数では連続 となるのです!

(小さな に対して、 がその範囲内に入るには の刻みを細かくしていけばよく、無理数 の近くでは細かな しか入らないように を小さく取ることができるからです。)

こういう例はイメージするのが難しいですが、「限りなく」のままでは判定不能だったものも 論法を使うことで厳密に連続・不連続が議論できるようになるのです!

いわば は自在に小さくなれる特殊能力を持った「無限小の代理人」で、 はその弟分みたいなものです。「どんな に対しても…」の先は も も「普通の数」として扱うことができるところがポイントです。


( を可愛く感じるように描いてみた)

無限大についても同様

同様に「無限大の代理人」をたてれば、無限大に関する極限も定義できるようになります。例えば:


この場合は が「無限大の代理人」で、いくらでも大きくなれる奴らです。

数列の極限も:


と定義できます(数列は自然数から実数への写像と見れば同じです)

このように「無限小・無限大の代理人」を立てることで極限を「定義」でき、論証においてはそれらを「普通の数」として扱うことができる…これが 論法の本質なのです。

nyughm2.htmlnyughb3.htmlnyugh11.htmlnyughc7.htmlnyughat.html【A2 FOギaraiフトRM エーツーフォルム】 スクリーン ブラウンスモーク(FZR400 89) 【1143084】:Dimension-3nyughm2.htmlnyughb3.htmlnyugh11.htmlnyughc7.htmlnyughat.htmlリアフェンダー FRP/黒 A-TECH(エパーツーテック) GSF1200(95〜9バイクカバー9年):バイク メンテ館nyughm2.htmlnyughb3.htmlnyugh11.htmlnyughc7.htmlnyughat.htmlD-MAX【S15 シルビア】 D1プレゼント SオンラインショッピングPEC ワイドフェンダー 片側のみ/左右セット:GCJ_STOREnyughm2.htmlnyughb3.htmlnyugh11.htmlnyughc7.htmlnyughat.html【2017年春夏モデル】【あす楽対応】ランキング2位獲得!キャロウェイアパレルチドリプリントタフタ 2WAYスティッチフルジップブルゾン【2417110500】CALLAWAY APPAREL【smtb-f】:WEBGOLFSHOP TAKEU買い物CHInyughm2.htmlnyughb3.htmlnyugh11.htmlnyughc7.htmlnyughat.htmlGREGORY(グレゴリー) TRANSIT TOTE-DENIM BLUE トランジットトート デニムブルー (tショッピングp10)(N)お歳暮 【SPP20】:遊岳人カーマット フロお中元アマット 三菱 FTO 6年10月〜12年9月 -スタンダードベージュ:PARTSR&G アールアンドジー エンジ通信販売ンカバー エンジンケースカバー・ガード - レースシリーズ -(右側)【Engine Case Covers - RACE SERIES -(RHS)】■ ZX-6R:ウェビック 店

まとめ

なかなか取っつきづらい 論法ですが、慣れれば「人間には扱えない無限の世界」を簡単な手続きで扱えるようにするための方法なんだと納得できると思います。こうして土台がガチッと固まったことで、その先も解析学は実・複素ともに華々しく発展していくのです。

次回もまた何か解析学の基礎の話をしようかなと思います。
それでは、また!

0123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899